Expressions binaires

Ensembles binaires algébriques

Conjonction ensemblistes

La conjonction  est représentée par l'intersection des ensembles et s'écrit en algèbre de Boole Y \in A \cap B \cap C.

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Fonctions binaires

On appelle variable ou fonction binaires, toute variable ou toute fonction ne pouvant prendre que l'une des deux valeurs algébriques distinctes a\ne b, à l’exclusion de toute autre.

L'ensemble « E_{ab} » des variables et des fonctions ainsi définies est appelé ensemble binaire algébrique.

Le choix de l'ensemble  E_{01} se justifie par l'adoption d'une valeur d'absorption « 0 » et d'une valeur neutre «1» qui font du produit algébrique une fonction binaire appartenant au même ensemble.

    \[\overline{x}=1-x\]

Produit

Les expressions conjonctives sont utilisées dans différents contextes : pour les commentaires, dans les évaluations d'expressions, dans la fabrication des ordinateurs notamment dans les unités centrales…

Conjonction en programmation

...
01 coup = 1
02 while /* secret pas devine et coup < 3 */
03 

Conjonction en logique

Une assertion conjonctive est de la forme : P et Q. Nous écrivons PQ ou P{\centerdot}Q, ce que certains auteurs notent : P\wedge Q, P\small{\&\&}Q ou P and Q.

Supposons qu'une telle proposition, par exemple dans le programme ci-dessus « Le secret n'est pas deviné et l'on a fait moins de 3 essais » soit vraie.  L'usage habituel de la conjonction « et » est tel que nous entendons que, d'une part, « Le secret n'est pas deviné » et, d'autre part, « on a fait moins de 3 essais » sont toutes deux des assertions vraies. Ceci conduit à poser les règles d'élimination suivantes :

 	\begin{tabular}{c|llcc|ll} 	\multicolumn{7}{c}{\bfseries R\`{e}gle .e}\\ 	n & $P{\centerdot}Q$ & & & n & $P{\centerdot}Q$ & \\ 	\cline{2-2} \cline{6-6} 	& \ldots & & & \ldots & &\\ 	m & $P$ & n, .e & $\quad$ et $\quad$ & m & $Q$ & n, .e \\ 	% m & $P$ & n, .e & & & & \\ 	\end{tabular}

À la ligne 04, nous faisons l'hypothèse P{\centerdot}Q, « secret pas devine et coup < 3 », donc à la ligne 10, nous pouvons éliminer Q et écrire l'assertion « code pas devine' ».

Cela tombe sous le sens. Inversement d'ailleurs, dans le cas où l'on sait que deux assertions P et Q sont vraies séparément, nous sommes disposés à affirmer que la proposition conjonctive P{\centerdot}Q est aussi vraie. D'où la règle d'introduction :

 	\begin{tabular}{c|ll} 	\multicolumn{3}{c}{\bfseries R\`{e}gle .i}\\ 	n & $P$ & \\ 	m & $Q$ & \\ 	& \ldots & \\ 	& $P{\centerdot}Q$ & n, m, .i \\ 	\end{tabular}

Conjonction en algèbre binaire

Soit n fonctions binaires  f_1, f_2, \ldots f_n telles que f_i \in E_{01}, \forall i \in [1, 2, \ldots n], le produit algébrique de ces  n  fonctions appartient à l'ensemble E_{01}.

    \[ \left( P = f_1{\centerdot} f_2{\centerdot} \ldots f_n \right) \in E_{01} \]

Le produit P est en effet égal à l'unité lorsque toutes les fonctions en facteur sont simultanément égales à l'unité.

    \[ \left( f_1 = f_2 = \ldots =f_n = 1\right) \Leftrightarrow \left(  P = 1 \right)  \]

Il est nul dans tous les autres cas.

Conjonction électriques

Nous appellerons également le produit « P » fonction et quand il fera l'objet d'application technologiques.

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Fonction « et » — produit a{\centerdot}b{\centerdot}c=Y

Conjonction et table de vérité

Le calcul de la valeur de P(a,b)  = a{\centerdot}b peut se synthétiser dans la table de vérité ci-dessous  :

 	\begin{tabular}{|c|c||c|} 	\hline 	a & b & P \\ 	\hline \hline 	0 & 0 & 0 \\ 	0 & 1 & 0 \\ 	1 & 0 & 0 \\ 	1 & 1 & 1 \\ 	\hline 	\end{tabular}

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