Produel (disjonction)

Disjonction en logique

Une assertion disjonctive est de la forme P ou Q. Nous écrirons \begin{vmatrix} P  \\ Q  \\ \end{vmatrix}, ce que certains auteurs notent PVQ, P{\parallel}Q ou PorQ.

Supposons qu’une telle proposition, par exemple dans le programme ci-dessous « m<0  ou m \geqslant 13 » soit vraie. L’usage habituel de la conjonction « ou » est telle que nous entendons qu’il suffit que l’une des deux assertions « m<0 »  « m \geqslant 13 » soit vraie pour que la phrase soit vraie et que le programme s’arrête en affichant le message d’erreur.

Conjonction et table de vérité

Le calcul de la valeur de P(a,b) = a{\centerdot}b peut se synthétiser dans la table de vérité ci-dessous :

 \begin{tabular}{|c|c||c|} \hline a &  b &  P\text{\scshape v}Q \\ \hline \hline 0 &  0 &  0 \\ 0 &  1 &  1 \\ 1 &  0 &  1 \\ 1 &  1 &  1 \\ \hline \end{tabular}

suite

Ceci conduit à poser les règles suivantes :

 \begin{tabular}{c|ll} \multicolumn{3}{c}{\sffamily\bfseries R\`{e}gle .i}\\ n &  $P$ &  \\ m &  $Q$ &  \\ &  \ldots &  \\ &  $P{\centerdot}Q$ &  n, m, .i \\ \end{tabular}

 \begin{tabular}{c|llcc|ll} \multicolumn{7}{c}{\bfseries R\`{e}gle .e}\\ n & ; $P{\centerdot}Q$ &  &  &  n &  $P{\centerdot}Q$ &  \\ \cline{2-2} \cline{6-6} &  \ldots &  &  &  \ldots &  & \\ m &  $P$ &  n, .e &  $\quad$ et $\quad$ &  m &  $Q$ &  n, .e \\ % m &  $P$ &  n, .e &  &  &  &  \\ \end{tabular}

Disjonction en algèbre binaire

Il faut choisir un symbolisme simple qui puisse traduire dans l’expression écrite, la dualité qui caractérise les ensembles binaires et qui permette, en utilisant, si possible,  les deux dimensions du plan, l’établissement de relations duales élémentaires.

Nous savons aussi, par dualité, qu’il est possible de faire correspondre au produit la fonction algébrique binaire :

    \[\pi = 1 - p \]